“How long will you be staying in Japan?”
“Please stay here and wait. I’ll be back in five minutes.”
“Use an umbrella to stay dry.”
“Stay” means “remain the same”. While you stay in Japan, or stay inside the house, your location doesn’t change. Then when you leave Japan or go outside the house, your location changes. If you are not wet, and you use an umbrella so that you don’t get wet, you remain dry, and your state doesn’t change.
「どれくらい日本に滞在しますか?」
「ここで待っていてください。5分で戻りますから」
「濡れないように傘を使って」
「Stay」は「そのまま、その状況を保つ」という意味です。日本に滞在するとき、家の中にいるとき、その場所は変わりません。日本を出国したり、屋外に出たりすると、その場所が変わります。濡れていない状態で傘をさせば、乾いたままなので状況は変わりません。