“Although some smaller companies went bankrupt, most were able to ride out the storm until the economy improved.”

“Riding out the storm” is surviving a difficult situation until things get better. When a storm comes, if you can keep yourself safe and wait, the storm will eventually end.

「複数の中小企業が倒産しましたが、多くの企業は不景気を乗り切る事が出来ました」

「嵐を乗り切る」とは難しい状況が良くなるまで生き残ることです。嵐がきた時、自分の身の安全を確保し待機すれば、そのうち嵐は去ってゆきます。